Tridente de Newton

Trident d'équation y = x²+1/x

El tridente de Newton es el nombre que se le da a una curva estudiada por Isaac Newton. También se le conoce como parábola de Descartes – sin embargo no es una parábola.

Índice

• 1 Clasificación de las cubicas
• 2 Ecuación cartesiana
• 3 Análisis
  • 3.1 Dominio
  • 3.2 Derivada
  • 3.3 Límites
    • 3.3.1 Límite en el infinito
    • 3.3.2 Límites en 0
  • 3.4 Asíntotas
• 4 Intersección con el eje de las abscisas

Clasificación de las cubicas

En un estudio realizado en 1676 y publicado en 1704, Newton intentó clasificar todas las curvas cúbicas, es decir, todas aquellas curvas planas cuya ecuación es de la forma:

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}y+cxy^{2}+dy^{3}+ex^{2}+fxy+gy^{2}+hx+iy+j=0\,}$

Newton contó 72 tipos que pueden clasificarse en cuatro clases:

1. las curvas de ecuación ${\displaystyle xy^{2}+ey=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$
2. las curvas de ecuación ${\displaystyle xy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$
3. las curvas de ecuación ${\displaystyle y^{2}=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$
4. las curvas de ecuación ${\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

Los llamados tridentes de Newton son del tipo 2.

Ecuación cartesiana

Los tridents de Newton tienen por ecuación cartesiano canónica: ${\displaystyle xy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}$ Donde a y d no son nulos.

Análisis

Dominio

El dominio de los tridentes de Newton es: ${\displaystyle D_{f}=\mathbb {R} ^{*}}$

Derivada

Como son funciones racionales ${\displaystyle D_{f}}$, su derivada es:

${\displaystyle f^{'}(x)=2ax+b-{\frac {d}{x^{2}}}}$

Límites

Límite en el infinito

En el infinito, los tridentes de Newton tienden a ${\displaystyle +\infty }$, o bien a: ${\displaystyle -\infty }$. Si a>0 entonces ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=+\infty }$. Si a<0 entonces ${\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=-\infty }$.

Límites en 0

En 0, los tridentes de Newton tienden a ${\displaystyle +\infty }$ ó ${\displaystyle -\infty }$.
Si d>0 entonces ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty }$ y ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty }$.
Si d<0 entonces ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty }$ y ${\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=+\infty }$.

Asíntotas

La asíntota de los tridentes de Newton es la parábola de ecuación:

${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$

También la hipérbola de ecuación:

${\displaystyle y={\frac {d}{x}}}$

Intersección con el eje de las abscisas

Hay entre uno y tres puntos de intersección entre la curva del tridente de Newton y el eje horizontal de acuerdo con el valor de los coeficientes a, b, c, d.

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